Pengertian dan sifat-sifat relasi biner lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya
RELASI BINER
Relasi biner adalah jika ∀ A,B himpunan tak kosong dari A x B disebut Relasi biner dari A ke B, jika R adalah relasi dari A, B dan (x,y) ∈ R maka x R y.
 |
Untuk keterangannya sendiri yaitu :
* Notasi : R ∈ ( A x B )
* aRb adalah notasi untuk (a,b) ∈ R,
yang artinya a dihubungkan
dengan b oleh R.
* aRb adalah notasi untuk (a,b) ∉ R,
yang artinya a tidak dihubungkan
dengan b oleh R.
* Himpunan A disebut daerah
asal ( domain ) dari R, dan
himpunan B disebut daerah hasil.
SIFAT-SIFAT RELASI BINER
Sifat-sifat relasi biner itu ada 4. Berikut penjelasannya :
1. Sifat Refleksif
* Relasi R pada himpunan A disebut refleksif
jika (a,a) ∈ R, untuk setiap a ∈ A.
Atau ditulis ∀ a ∈ R maka x R x.
* Relasi R pada himpunan A tidak refleksif
jika a ∈ A. Sedemikian sehingga (a,a) ∉ R.
2. Sifat Simetri (Setangkup)
* Relasi R pada himpunan A disebut setangkup
jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R
untuk a, b ∈ A atau ditulis ∀ aRb ⇒ bRa
* Relasi R pada himpunan A tidak setangkup
jika (a, b) ∈ R, sedemikian
sehingga (b, a) ∉ R.
3. Sifat Anti Simetris ( Tolak Setangkup )
* Relasi R pada himpunan A sedemikian
sehingga (a, b) ∈ R, dan (b, a) ∈ R
hanya jika a = b untuk a, b ∈ A
disebut ANTI SIMETRIS (tolak-setangkup).
atau ditulis (a, b) ∈ R dan (a, b) ∈ R ⇒ x = y
* Jika untuk ∀a, b ∈ R dengan a R b dan
a ≠ b ⇒ bukan b R a atau ditulis (a, b) ∈ R
dan a ≠ b ⇒ (b, a) ∉ R
* Relasi R pada himpunan A tidak
tolak-setangkup jika ada elemen
berbeda a dan b. sedemikian
sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.
4. Sifat Transitif ( Menghantar )
* Relasi R pada himpunan A disebut
menghantar jika (a, b) R dan (b, c) ∈ R,
maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
atau ditulis ∀ a R b, b R c ⇒ a R c
5. Relasi Ekuivalen
DEFINISI:
R relasi pada A dikatakan relasi ekivalen jika R memenuhi tiga sifat:
1. sifat refleksif
2. Sifat simetris dan
3. Sifat transitif.
Berikut merupakan contoh soal yang mimin sajikan dari buku mata kuliah matematika diskrit.
a. R = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
b. R = {(2,4) (4,2)}
c. R = {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)}
d. R = {(1,3), (1,4), (2,3),(2,4), (3,1), (3,4)}
Jawab :
a. R = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
* Syarat refleksif untuk ∀ a∈R
ada (a,a) ∈ R, R bersifat refleksif
jika ada (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) ) ∈ R.
Sedangkan (1,1) dan (4,4) ∉ R,
maka tidak reflekstif.
* Syarat transitif jika (a,b) ) ∈R
dan (b,c) ) ∈ R, maka (a,c) ) ∈ R
untuk a, b, c ) ∈ A
Perhatikan!
(2,2) ∈R, (2,3) ∈ R, maka (2,3) ∈ R
(2,3) ∈R, (3,2) ∈ R, maka (2,2) ∈ R
(2,3) ∈R, (3,3) ∈ R, maka (2,3) ∈ R
(2,3) ∈ R, (3,4) ∈ R, maka (2,4) ∈ R
(3,2) ∈ R, (2,2) ∈ R, maka (3,2) ∈ R
(3,2) ∈ R, (2,4) ∈ R, maka (3,4) ∈ R
(3,3) ∈ R, (3,2) ∈ R, maka (3,2) ∈ R
(2,2) ∈ R, (2,4) ∈ R, maka (2,4) ∈ R
Sehingga bersifat transitif.
* Syarat simetri jika (a,b) ∈ R ∀a,
b ∈ A maka (b,a) ∈ R
Perhatikan!
(2,3) ∈R, (3,2) ∈ R
(2,4) ∈R, (4,2) ∉ R
maka tidak bersifat simetri
* Syarat anti simetri jika ∀ a,b ∈ A,
(a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, berlaku hanya
jika a=b , (2,3) ∈ R, (3,2) ∈ R tetapi 2 ≠ 3
maka tidak bersifat anti simetris
b. R = {(2,4) (4,2)}
* R tidak bersifat refleksif karena
(1,1) (2,2) (3,3) dan (4,4) ∉ R
* R bersifat simetris karena (2,4)
dan (4,2) ∈ R
* R tidak bersifat transitiif karena
(2,4) (4,2) ∈ R tetapi (2,2) ∉ R
dan R tidak bersifat transitif karena
(4,2) (2,4) ∈ R tetapi (4,4) ∉ R
* Syarat anti simetri jika ∀a,b ∈ A, (a,b) ∈ R
dan (b,a) ∈ R, berlaku hanya jika a = b
(2,4) ∈ R, (4,2) ∈ R tetapi 2 ≠ 4
maka tidak bersifat anti simetris
c. R = {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)}
* Syarat refleksif untuk ∀ a ∈ R
ada (a,a) ∈ R, R bersifat refleksif
karena ada elemen yang berbentuk (a,a),
yaitu ada (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4) )
* R bersifat simetris karena jika a = b
maka a = b = 1 (a,b) = (1,1), (b,a) = (1,1).
Jadi (1,1) dan (1,1) ∈ R begitu juga
dengan yang lainnya
* R bersifat transitif karena a = b = c
maka a = b = c = 1, (a,b) = (1,1)
(b,c) = (1,1) dan (a,c) = (1,1).
Jadi (1,1) dan (1,1) ∈ R begitu juga
dengan yang lainnya
* Syarat anti simetri jika ∀ a,b ∈ A,
(a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, berlaku hanya
jika a = b, (1,1) ∈ R 1 = 1 begitu juga
dengan yang lainnya
Maka R bersifat antisimetris
d. R = {(1,3), (1,4), (2,3),(2,4), (3,1), (3,4)}
* R tidak bersifat refleksi karena
(1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4) bukan elemen R.
* R tidak bersifat simetris karena
(1,4) elemen R tetapi (4,1) bukan elemen R
(2,3) elemen R tetapi (3,2) bukan elemen R
dan (3,4) elemen R tetapi (4,3)
bukan elemen R.
* R bersifat transitif karena (2,3), (3,4)
dan (2,4) elemen R, begitu juga
dengan (3,1), (1,4) dan (3,4) elemen R,
begitu juga dengan (1,3), (3,4)
dan (1,4) elemen R.
* R tidak bersifat antisimetris karena
(1,3) dan (3,1) elemen R. tetapi 1 ≠ 3
2. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan R = {(1,1),(2,3),(4,4),(2,1)} adalah relasi himpunan A. Sifat apakah yang dimilliki relasi R?
Jawab :
* R bersifat antisimetris, karena :
1=1 dan (1,1) elemen R.
4=4 dan (4,4) elemen R.
(2,3) dan (2,1) elemen R
tapi (3,2) dan (1,2) bukan elemen R.
* R tidak bersifat Refleksif karena
(1,1) ∈ R tetapi (2,2) ∉ R
* R tidak bersifat simetris karena
(2,3) ∈ R tetapi (3,2) ∉ R
* R tidak bersifat transitif karena
(2,3) ∈ R tetapi (3,1) dan (2,1) ∉ R
3. Diketahui A= {1, 2, 3, 4, 5}
Berikut yang merupakan relasi
ekuivalen adalah :
a. {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),
(3,3),(4,4),(3,2),(5,5)}
b. {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(1,3),
(4,1),(4,4)}
Jawab :
a. A adalah yang bersifat ekivalen yaitu :
R ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),
(2,3),(3,3),(4,4),(3,2),(5,5)}
Karena :
* R bersifat refleksi karena
(1,1),(2,2),(3,3), (4,4) dan (5,5) ∈ R
* R simetris karena (1,2) (2,1) ∈ R
(1,3) dan (3,1) ∈ R (2,3) dan (3,2) ∈ R
* R bersifat transitif karena (1,2), (2,1),
dan (1,1) ∈ R (1,3),(3,1) dan (1,1) ∈ R,
(2,3),(3,2) dan (2,2) ∈ R
* R bersifat ekuivalen karena
bersifat refleksi, simetris dan transitif.
b. B tidak bersifat ekivalen, yaitu :
R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),
(1,3),(4,1),(4,4)}
Karena :
* R tidak bersifat refleksif
(1,1) (2,2) (3,3) dan (4,4) elemen R
namun (5,5) ∉ R
* R tidak bersifat simetris
(1,4) ∈ R namun (4,1) ∉ R
* R tidak bersifat transitif
(3,1) dan (1,2) ∈ R namun (3,2) ∉ R
* Karena tidak memenuhi ketiga syarat sifat,
maka bukan merupakan relasi ekuivalen.
Itulah pembahasan materi mengenai relasi biner yang merupakan materi yang ada dalam mata kuliah matematika diskrit, semoga bermanfaat dan mudah untuk dipahami. Tetap semangat dan tetap berjuang. Kita kampanyekan matematika mudah. Good luck and God bless for you. Thank youu
0 Response to "Pengertian dan sifat-sifat relasi biner lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya"
Post a Comment